Помоги Ивану и Демьяну!

[SergejEU]

Двум братьям - Ивану и Демьяну досталось от отца в наследство - кусок земли в форме прямоугольного треугольника с большим катедом длинною в пол-версты. Почесали братья репу и решили, что нужно делить участок поровну, да так, чтобы раздел проходил по самой короткой линии, чтобы съэкономить на меже (узкой полоске отделяющей два участка).
Порешили они значит, идут и считают сажени вдоль границы участка, да не знают с какого места эту межу вести?
Помоги Ивану и Демьяну!

 

[bort707]

@SergejEU,
Корень квадратный из одной второй от более острого угла перпендикулярно к длинному катету

 

[SergejEU]

@bort707, согласись, твое решение простое, но не самое оптимальное. Предположил, что братья от природы перфекционисты и ищут наикратчайшую линию, делящую прямоугольный треугольник на две равные половины?

 

[bort707]

А почему ты думаешь, что моя линия не самая короткая? Докажи

Зы чтоб не раскрывать ответ, просто напиши длину межи в твоем варианте - сравним

 

[Старик Похабыч]

Самая короткая должна быть от точки на длинном катете под прямым углом к гипотенузе.
Но считать пропорции сейчас некогда.

 

[bort707]

@Старик Похабыч, межи в твоем и моем варианте в точности одинаковые - их длина есть короткий катет умноженный на корень из 0.5

 

[Старик Похабыч]

@bort707,
У тебя в ответе перпендикулярно к длинному катету, это вот так:

от более острого угла перпендикулярно к длинному катету

А но вот так будет короче:


Может оговорился ? Хотя может они и будут одинаковые. Надо считать.
Хотя что считать, площадь одинаковая, занчит и катет один и тот же.

 

[bort707]

@Старик Похабыч, это один и тот же треугольник, только зеркально отраженный.
Сам подумай, верхний угол у них общий, второй у обоих прямой. Значит и третий тоже совпадает. А раз у наших треугольников одинаковые углы и одна и та же площадь ( половина исходного треугольника) - значит и стороны у них одинаковы.

 

[Старик Похабыч]

@bort707,Так я так и написал. Не сразу на это обратил внимание, но получается физически решений 2

 

[SergejEU]

А почему ты думаешь, что моя линия не самая короткая? Докажи

извини конечно, но ты не написал от какой стороны этот фактор корень от 1/2. Это меня и сбило с толку

Логично, что одна из половинок участка при остром угле должна быть прямоугольным треугольником, т.к. из всех треугольников при заданной фиксированной площади и равном остром угле, именно прямоугольный треугольник будет иметь основание минимальной длины. Это можно проверить придя к неравенству (ко)тангенсов от суммы углов и суммы (ко)тангенсов этих углов..